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哪些题目需要分类讨论


□ 孟令中

   分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想,掌握分类的思想,领会其实质,对于加深基础知识的理解,提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的,即不重复、也不遗漏.下面以中考试题为例,说明哪些题目要用到分类讨论.
   例1(四川绵阳市)绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨、桃子12吨.现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售,已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨,一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨.
   (1) 王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性运到销售地?有几种方案?
   (2)若甲种货车每辆要付运输费300元,乙种货车每辆要付运输费240元,则果农王灿应选择哪种方案使运输费最少?最少运输费是多少?
   解析:利用不等式设计方案解决实际问题,利用数量间的关系,根据未知数的特殊值来设计所有可能性,从而选择最优方案.
   (1) 设安排甲种货车x辆,则安排乙种货车(8 -x)辆,依题意,得4x+2(8-x)≥20x+2(8-x)≥12.
   解此不等式组,得x≥2x≤4,即2≤x≤4.
   ∵x是正整数,∴x可取的值是2,3,4.
   因此安排甲、乙两种货车有三种方案如下表:
   (2) 方案一所需运费:300×2+240×6=2040元;
   方案二所需运费:300×3+240×5=2100元;
   方案三所需运费:300×4+240×4=2160元.
   所以王灿应选择方案一运费最少,最少运费是2040元.
   例2(宜昌市)某商场设计了两种促销方案;第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球(球上分别标有数字1,2,…100)的箱子中随机摸出一个球(摸后放回),若球上的数字是88,则返购物券500元;若球上的数字是11或77,则返购物券300元;若球上的数字能被5整除,则返购物券5元;若是其他数字,则不返购物券.第二种是顾客在商场消费每满200元直接获得购物券15元.估计促销期间将有5000人次参加活动,请你通过计算说明商家选择哪种促销方案合算些?
   解析:运用列举法计算发生的概率,通过实验计算来解决问题.
  获得500元购物券的概率是0.01;
  获得300元购物券的概率是0.02;
  获得5元购物券的概率是0.2.
  摸球一次获得的购物券平均金额为:
   (0.01×500+0.02×300+5×0.2)=12元.
   如果有5000人参加摸奖,商场付出的购物券的金额为:
   5000×(0.01×500+0.02×300+0.2×5)=60000元.
   若直接得到购物券,需付金额:
   5000×15=75000元.
   所以商场采用摸球这种促销方式合算.
   例3(临沂)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图1所示,根据勾股定理,则a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图2和图3所示,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.
   解析:若△ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2,若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有a2+b2   当△ABC是锐角三角形时,如图4(见第15版)所示,过点A作AD⊥CB,垂足为D,设CD为x,则有DB=a-x.
   根据勾股定理,得b2-x2=c2-(a-x)2,
   (上接第16版)
   b2-x2=c2-a2+2ax-x2. ∴a2+b2=c2+2ax,
   ∵a>0,x>0,∴2ax>0.∴a2+b2>c2;
   当△ABC是钝角三角形时,如图5所示,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.
   设CD为x,则BD=a+x,AD2=b2-x2.
   根据勾股定理,得(a+x)2+b2-x2=c2.
   即a2+2ax+x2+b2-x2=c2.∴a2+b2+2ax=c2.
   ∵a>0,x>0,∴2ax>0. ∴a2+b2   说明:分类讨论的数学思想不仅只应用于以上几个例子当中,在初中数学的各个领域都渗透了这一数学思想.这一数学思想在常用的数学思想中处于优先地位,它真正使人们认识到“数学使人精细”的道理.
  

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