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哪些题目需要分类讨论


□ 孟令中

   分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想,掌握分类的思想,领会其实质,对于加深基础知识的理解,提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的,即不重复、也不遗漏.下面以中考试题为例,说明哪些题目要用到分类讨论.
   例1(四川绵阳市)绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨、桃子12吨.现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售,已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨,一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨.
   (1) 王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性运到销售地?有几种方案?
   (2)若甲种货车每辆要付运输费300元,乙种货车每辆要付运输费240元,则果农王灿应选择哪种方案使运输费最少?最少运输费是多少?
   解析:利用不等式设计方案解决实际问题,利用数量间的关系,根据未知数的特殊值来设计所有可能性,从而选择最优方案.
   (1) 设安排甲种货车x辆,则安排乙种货车(8 -x)辆,依题意,得4x+2(8-x)≥20x+2(8-x)≥12.
   解此不等式组,得x≥2x≤4,即2≤x≤4.
   ∵x是正整数,∴x可取的值是2,3,4.
   因此安排甲、乙两种货车有三种方案如下表:
   (2) 方案一所需运费:300×2+240×6=2040元;
   方案二所需运费:300×3+240×5=2100元;
   方案三所需运费:300×4+240×4=2160元.
   所以王灿应选择方案一运费最少,最少运费是2040元.
   例2(宜昌市)某商场设计了两种促销方案;第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球(球上分别标有数字1,2,…100)的箱子中随机摸出一个球(摸后放回),若球上的数字是88,则返购物券500元;若球上的数字是11或77,则返购物券300元;若球上的数字能被5整除,则返购物券5元;若是其他数字,则不返购物券.第二种是顾客在商场消费每满200元直接获得购物券15元.估计促销期间将有5000人次参加活动,请你通过计算说明商家选择哪种促销方案合算些?
   解析:运用列举法计算发生的概率,通过实验计算来解决问题.
  获得500元购物券的概率是0.01;
  获得300元购物券的概率是0.02;
  获得5元购物券的概率是0.2.
  摸球一次获得的购物券平均金额为:
   (0.01×500+0.02×300+5×0.2)=12元.
   如果有5000人参加摸奖,商场付出的购物券的金额为:
   5000×(0.01×500+0.02×300+0.2×5)=60000元. ......
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