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函数周期性概念的探究学习活动


□ 何 棋

  函数的周期性是函数的重要性质,概念比较抽象。因此,如果直接学习函数周期性的概念,学生难以理解和掌握,那么笔者就将它放到一个具体的周期函数(三角函数)中来学习。课程标准对这部分的要求是通过实例帮助学生学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有周期变化规律问题中的作用,会用三角函数解决一些简单的实际问题,理解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。因此,教学中首先应该通过实例、图形(如心电图等),让学生感受周期现象,体会研究周期现象的思路和方法,进而充分理解函数周期性概念的本质属性,同时也应该将函数的周期性概念纳入到一般函数的性质体系中来学习。学习函数周期性概念的难点是对概念的本质特征f(x+T)=f(x)的得出、理解和掌握,因此我设计了如下探究性学习活动。(本次探究活动利用TI图形计算器进行。)
  步骤一:感受周期函数图像的变化规律
  首先教师请学生分别做出函数y=(x/4-x/4)2与y=2sinx的图像(图1和图2),然后让学生观察函数图像,发现图像的特征。
  学生的直观感受是:图1中同一段曲线重复不断出现,其间每段的间隔也一样。图2中波峰、波谷不断重复出现,间隔也一样。这就是函数图像的特征——周期性变化。
  学生通过作图,得出这种函数性质的本质特征是:同一段图像每隔相同的间隔不断重复出现。因此“同一段图像”周期性出现的间隔是刻画函数周期性的关键,这便需要学生进一步探究图像周期性出现的间隔。
  步骤二:探究同一段函数图像周期性出现的间隔
  师生讨论后确定探究方案:取定同一个函数值,分别找出对应自变量x的值,看看这些x的值是不是间隔一样。学生按照上述要求动手实验,完成后教师请两名学生展示结果。
  学生1作一个常值函数y=1.3791,求出它与图像的交点分别为-9.287953、-5.287953、-1.287953、2.712047、6.712047、10.712047(图3和图4),发现交点的纵坐标不变,横坐标依次相差4。
  学生2作一个常值函数y=2.3157,求出它与函数图像的交点分别为-8.485686、-4.485686、-0.485686、3.514314、7.514314、9.514314,仍然具有同样的规律,交点的纵坐标不变,横坐标仍然依次相差4。
  再展示其他学生的结果,也有同样的结论,于是我们认识到要得到相同的函数值,只要自变量的值相差是4的整数倍就可以,也就是同一段图像每隔4就重复出现。
  如果我们任意确定一个x值,依次加上4后,它们所对应的函数值是不是一样呢?
  步骤三:验证结论
  学生按照上述要求动手实验,完成后教师请同学展示结果。
  学生3任意确定一个初始值-17.493817,设置步长为4,显示函数值表(图5和图6),发现函数值都是1.17767873。再任意取定初始值-5.739617,显示函数值表,发现函数值都是0.95799962,函数值总是相等。
  
  展示其他学生的结果,也有同样的结论,那么我们认识到对于确定的任意一个x值,依次加上4后,它们对应的函数值是相等的。
  步骤四:抽象出函数周期性概念
  教师:从上面的实验看出,对于任意一个自变量x的值加上4以后函数值都是一样的,这里的常数4就是这个函数周期性变化的间隔,4称为这个函数的周期,我们把函数的这种性质称为函数的周期性。
  师生共同分析,将上述结论用数学语言来表达就是:对任意一个自变量x,都有f(x+4)=f(x)。
  教师再引导学生回想函数的单调性、奇偶性定义,引导学生给一般函数的周期性下定义。
  学生:如果存在一个常数T(T≠0),使得函数y=f(x)在定义域内的每一个x都有:f(x+T)=f(x),则称函数y=f(x)是周期函数,称常数T为周期。
  在讨论过程中学生会忽略T≠0的条件,教师要适当举出反例帮助学生认识。例如:若T=0,那么每个函数都满足条件,都是周期函数,这一结论显然不对,比如y=x,这个函数就不是周期函数。
  本节课精心设计了周期函数概念的探究实验活动,首先让学生做出一些周期函数的图像,直观体验到周期函数图像特征(同样的一段图像循环不断出现——周期性),然后过渡到探究周期函数的精确数字规律(自变量每增加4,函数值总相等),最后抽象出规律的函数表达式:f(x+T)=f(x)(概念的本质特征),自然得出了周期函数的概念。上述探究过程使学生在多元联系表示(数据、图形、表达式)的情景中深刻体验到周期函数的特性,最终达到对周期函数概念的“意义建构”。可以看到学生亲自动手去体验知识的产生、发展、形成过程,对知识的理解更加深刻。如果离开信息技术,便难以达到这样的教学效果。这也充分说明利用TI图形计算器这个教具和学具进行数学学习是很有必要的。
  
  (作者单位:北京市第二十中学)
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