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盘点初中数学中的最值问题


□ 刘明海

西藏 拉萨 ●刘明海

  初中数学中有很多最值问题的研究,无论是代数方面还是几何方面,经常涉及到求最大小值的问题。最值问题和我们的实际生活联系非常紧密,比如怎样最省、最快、最节约材料等。下面,我就初中数学中的最值问题举例说明。

  一、两点的所有连线中,线段最短,即两点之间线段最短

  由这个结论我们还可以得到三角形三边的关系:三角形的任意两边之和大于第三边。利用它求最值问题往往和对称、平移联系在一起。

  例1 如图1,在燃气管道L旁有两个镇A和B,要在管道上修一个泵站往两个镇供气,问泵站修在哪里可使所用的输气管线最短?

  解:如图2,作A关于直线L的对称点A′,连接BA′与直线L交于点C,点C为所求泵站位置。

  例2 如图3,一长方体盒子,长宽高分别为a、b、c,一只蚂蚁在顶点A处,要爬到顶点G处,它爬行的最短距离为多少?

  解:如图4,把长方体展开,后面的面和底下的面不画。蚂蚁爬行的最短距离为线段AG的长,利用勾股定理可求得解。

  注:对于求其他可以展开的立体图形(如棱柱、圆柱、圆锥)上的最短距离,方法和这个基本相同。

  二、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段

最短

  例3 如图5,小明和妈妈在矩形花园里玩,小明沿着BCDB的路线跑,妈妈站在A处,矩形花园的长宽分别为40米和30米。问小明离妈妈的最短距离是多少?

  解:过A作BD的垂线段AE,即为最短距离。

  ∴小明离妈妈的最短距离是24米。

  三、二次三项式求最值

  二次三项式求最值的方法就是把二次三项式配方,化成一个完全平方式与一个常数和的形式,利用完全平方的非负性来求最值。如:2x2+4x-3=2(x2+2x-2/3)=2(x+1)2-5≥0-5=-5,所以该二次三项式有最小值-5。而-2x2+4x-3=-2(x+1)2-1≤0-1=-1,所以该二次三项式有最大值-1。

  四、利用根的判别式求最值

  例4 如图6,⊙O的直径AB=2,AD、CD、BC是⊙O的切线,若AD=x,BC=y,求四边形ABCD的最小面积。

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摘自:成才之路
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