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从错解的现象中探究数学的本质


□ 宣雪英

  [案例背景]

  在圆锥曲线的教学中,经常会涉及到这样的问题:“以已知点为中点的直线交已知圆锥曲线于两点,求该直线的方程” .这类问题我们经常称其为“中点弦”问题.解决的方法多采用先设两个交点的坐标,再将两坐标代入圆锥曲线方程,然后将这两个方程相减,再利用中点坐标公式和斜率公式求出所求直线的斜率,从而利用点斜式求出直线方程.这就是我们中学老师自己命名的“点差法”.别外韦达定理也是圆锥曲线中经常使用的方法,学生比较喜欢,用的也比较熟练.但在使用的过程中学生往往会碰到一些不可思议,似是而非的问题,而这些问题恰恰反映了学生没有很好地抓住数学的本质,所以在求解时才会出现这样或那样的错误.

  作者在以自主学习为前提,以探究建构为目的,设计了一个错解评析过程,意在强调抓住数学本质的重要性.

  [案例过程]

  问题1:(课本习题)已知双曲线 ,过点p(1,1)能否作一条直线 ,与双曲线交于a,b两点,且点p是线段ab的中点?

  展示学生的错解: 设a(x1,y1)b(x2,y2),代入双曲线方程,得 …(1)

   … (2), 由(1)-(2)得 ,

  由题意得代入上式得直线ab的斜率为2,所以直线 存在且方程为y=2x-1.

  错解原因分析及解决策略:

  (1) 数形结合:让学生画出已知双曲线和求得直线的图象,观察直线与双曲线的位置关系,很容易发现所求的直线根本不与双曲线相交.

  (2) 本质分析:让学生思考在上面的解题过程中到底忽略了哪个最本质的数学条件? (直线 与双曲线交于a,b两点).这个题的本质就是考直线与双曲线相交的条件,而题中的中点信息使得学生更青睐于点差法,而在解的过程中很容易忽略了直线与双曲线相交的本质特征.

  (3) 抓住本质:让学生思考怎样完善解题过程?(将所求的直线与双曲线联列成方程组,利用消元得到关于x的一元二次方程,利用判别式可得方程无解,因此这样的直线不存在).如果在解题过程中始终抓住直线与双曲线相交的本质特征,那么也可以选择以下的通法通解.而且高考中对通法通解更加重视.

  (4) 通法通解:根据题意可得若直线 存在,则它的斜率存在,设所求直线为:y=k(x-1),将直线方程与双曲线方程联列成方程组,消去y得 由题意得 即 且 且k=2,显然同时满足上面条件的k不存在.所以这样的直线不存在.

  问题2 已知抛物线 的焦点f恰好是椭圆 的左焦点,且两曲线的公共点的连线过f,则该椭圆的离心率为多少?

  展示学生的错解:

0,显然这两者相互矛盾.于是学生认为题意有错.

  错解辨析,正本清源

  (1) 数形结合:观察图形已知抛物线与椭圆的交点,交点能反映方程(1)的根有几个?(只有1个)

  那么当方程(1)满足什么条件时,它的根只有一解.

  (2) 本质分析:一元二次方程根的个数的判断常用判别式,而判别式所得是在实数集中的根的个数,那么这个题中根有什么要求?(方程(1)要求有且只有一个负根)

  (3) 抓住本质:根据韦达定理,可得方程(1)有一负根和一正根,由于交点在第二和第三象限,所以正根应舍去,从而方程只有一解,应此题意中并没有矛盾.事实上直接利用x1= 代入方程(1)即可得关于a,b,c,p的一个关系式 ,又p=2c, ,化简得 ,所以 ,又 ,所以 .

  教学反思:

  通过这次错解评析,学生意识到自己在这些问题中的错解成因,以及研究这些问题的方法,并加强了对数学本质的认识.使学生的观察力、综合运用知识的能力、思维素质得到了充分的展示和锻炼。

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