互联网 qkzz.net
全刊杂志网:首页 > 教学 > 文章正文
刊社推荐

从错解的现象中探究数学的本质


□ 宣雪英

  [案例背景]

  在圆锥曲线的教学中,经常会涉及到这样的问题:“以已知点为中点的直线交已知圆锥曲线于两点,求该直线的方程” .这类问题我们经常称其为“中点弦”问题.解决的方法多采用先设两个交点的坐标,再将两坐标代入圆锥曲线方程,然后将这两个方程相减,再利用中点坐标公式和斜率公式求出所求直线的斜率,从而利用点斜式求出直线方程.这就是我们中学老师自己命名的“点差法”.别外韦达定理也是圆锥曲线中经常使用的方法,学生比较喜欢,用的也比较熟练.但在使用的过程中学生往往会碰到一些不可思议,似是而非的问题,而这些问题恰恰反映了学生没有很好地抓住数学的本质,所以在求解时才会出现这样或那样的错误.

  作者在以自主学习为前提,以探究建构为目的,设计了一个错解评析过程,意在强调抓住数学本质的重要性.

  [案例过程]

  问题1:(课本习题)已知双曲线 ,过点p(1,1)能否作一条直线 ,与双曲线交于a,b两点,且点p是线段ab的中点?

  展示学生的错解: 设a(x1,y1)b(x2,y2),代入双曲线方程,得 …(1)

   … (2), 由(1)-(2)得 ,

  由题意得代入上式得直线ab的斜率为2,所以直线 存在且方程为y=2x-1.

  错解原因分析及解决策略:

  (1) 数形结合:让学生画出已知双曲线和求得直线的图象,观察直线与双曲线的位置关系,很容易发现所求的直线根本不与双曲线相交.

  (2) 本质分析:让学生思考在上面的解题过程中到底忽略了哪个最本质的数学条件? (直线 与双曲线交于a,b两点).这个题的本质就是考直线与双曲线相交的条件,而题中的中点信息使得学生更青睐于点差法,而在解的过程中很容易忽略了直线与双曲线相交的本质特征.

  (3) 抓住本质:让学生思考怎样完善解题过程?(将所求的直线与双曲线联列成方程组,利用消元得到关于x的一元二次方程,利用判别式可得方程无解,因此这样的直线不存在).如果在解题过程中始终抓住直线与双曲线相交的本质特征,那么也可以选择以下的通法通解.而且高考中对通法通解更加重视.

  (4) 通法通解:根据题意可得若直线 存在,则它的斜率存在,设所求直线为:y=k(x-1),将直线方程与双曲线方程联列成方程组,消去y得 由题意得 即 且 且k=2,显然同时满足上面条件的k不存在.所以这样的直线不存在.

  问题2 已知抛物线 的焦点f恰好是椭圆 的左焦点,且两曲线的公共点的连线过f,则该椭圆的离心率为多少?

  展示学生的错解:

0,显然这两者相互矛盾.于是学生认为题意有错.

  错解辨析,正本清源

......
很抱歉,暂无全文,若需要阅读全文或喜欢本刊物请联系《科教新报·教育科研》杂志社购买。
欢迎作者提供全文,请点击编辑
分享:
 

了解更多资讯,请关注“木兰百花园”
分享:
 
精彩图文


关键字
支持中国杂志产业发展,请购买、订阅纸质杂志,欢迎杂志社提供过刊、样刊及电子版。
关于我们 | 网站声明 | 刊社管理 | 网站地图 | 联系方式 | 中图分类法 | RSS 2.0订阅 | IP查询
全刊杂志赏析网 2017