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佩雷尔曼与庞加莱猜想


□ 汤 双

  二○○○年,美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute, CMI)邀集了世界上的一些顶级数学家,共同拟定出七个对二十一世纪的数学发展具有重大意义的难题(千禧年大奖难题),并为每个难题的解决设定了一百万美元的奖金。庞加莱猜想是这七个难题之一,也是迄今为止其中唯一得到解答的问题。
  庞加莱猜想在拓扑学中占有举足轻重的地位。什么是拓扑学?简单地说,拓扑学就是研究有形的物体在连续变换下,怎样还能保持性质不变的学问。比如,把面团揉成一个圆球(其表面叫做球面),或压扁成一个烧饼,或拉成一根面条,它们的几何形状是完全不一样的,可它们的拓扑性质却相同(拓扑等价)。但如果在烧饼上挖个洞,变成一个甜甜圈(其表面叫做环面),则拓扑性质就变了。为了研究高维空间中曲面之间拓扑性质的异同,庞加莱(Henri Poincaré,1854—1912,法国数学家)在一九○四年提出了他著名的猜想,这个猜想最初是关于四维空间中的三维曲面的(我们生活在三维空间,皮球或甜甜圈的表面则是二维曲面),后来被推广到更高维空间中的曲面。非专业人士很难明白庞加莱猜想到底说的是什么,不过我们可以在三维空间中做一个粗略的类比,这样也能大概了解一点它的意思:如果在球面(或任何与球面拓扑等价的曲面)上任意画一个封闭的圈,然后让这个圈不断缩小,它最终一定会缩成一个点。直观上很容易看出,不管是圆球还是烧饼,在其表面上画一个封闭的圈,令其不断缩小,它显然会缩到一个点。但如果围着甜甜圈的洞画一个封闭的圈,由于洞的存在,这个圈是缩不到一个点的。因而我们说球面和环面具有不同的拓扑性质。
  庞加莱猜想在直观上看起来似乎一目了然,但在数学上要证明它却难上加难。法国数学大师阿兰·科纳(Alain Connes)在提到包括庞加莱猜想在内的七大千禧年难题时说:“正是这些极为困难的难题让数学更具价值,它们就像是数学领域里的珠穆朗玛峰或喜马拉雅山,到达顶峰是极难的——为此我们甚至可能付出一生的代价。但是一旦登上顶峰,看到的景色则将奇妙无比。”
  从一九○四年庞加莱猜想提出后,在将近一百年的时间里,有很多顶尖的数学家在其上倾注了无数心血。直到二○○二年十一月至二○○三年七月,俄国数学家格里戈里·佩雷尔曼(Grigori Perelman)在互联网上连续发表了三篇论文预印本,才最终给出了完整的证明。二○○六年,数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。同年,第二十五届国际数学家大会决定将菲尔兹奖(这个奖通常被认为是数学界的诺贝尔奖)授予佩雷尔曼,但佩雷尔曼拒绝接受该奖,也拒绝出席大会。单凭拒领菲尔兹奖这一点,就可以说佩雷尔曼是个大怪人。但他的怪还远远不止于此。自从他在互联网上发表了那三篇论文,很多世界顶尖大学(例如普林斯顿大学、麻省理工学院、斯坦福大学等等)为他提供对常人来说极具吸引力的职位,希望他能去工作,而他或者粗鲁地加以拒绝,或者根本不予理睬。二○○五年底,不知由于什么原因,他又突然辞掉了在俄国斯捷克洛夫(Steklov)数学研究所的工作。之后住在他母亲位于圣彼得堡的公寓里,两人以他母亲的退休金和他在美国做博士后时积攒下的一点钱为生,过着一种与世隔绝的生活。他不但从学术界消失,而且从社会上消失了。有人曾试图打电话给他,得到的回答竟是“佩雷尔曼已经死了”。至于那一百万美元的千禧年大奖,佩雷尔曼也曾宣称不会接受。 ......
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摘自:读书
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