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过两圆交点的圆系方程的推导、拓广及应用


□ 李凤华

  数学高考科《考试要求》对于圆这部分,要求在内容上掌握圆的标准方程和一般方程,理解圆的参数方程;在能力上能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合圆的几何性质解决与圆有关的问题.由此可知,求圆系方程的问题无论是从方法上,还是从内容上都是教学中必须注意的问题.而这种问题通常的表现形式是:过两个已知圆的交点,又满足另外一个条件求圆的方程.例如,普通高中课程标准实验教科书数学必修2第132页习题4.2第4题“求圆心在直线x-y-4=0上,并且经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程”,133页第10题“求经过点M(2,-2)以及圆x2+y2-6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程”.对于这种题型,我们若采用先解方程组求交点,再按待定系数法求解,运算量大,过程繁琐,容易出错.但若用过两圆交点的圆系方程,便可避免解方程组,从而减少了运算量,提高了解题速度和准确率.但是在过两圆交点的圆系方程的教学中,教师并不能从现有知识结构中给学生一个合理的逻辑解释,只是告诉学生方程表示圆,此圆过两圆的交点,所以许多学生怀疑过交点的所有圆其方程都可表示为这种形式.因此本文就圆系方程问题,从理论上给予证明和拓广,并举例说明圆系方程的妙用.
  

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