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数形结合思想在解题中的应用


□ 陈连荣

   数学大师华罗庚曾经说过,数离开形缺直观,形离开数难入微.在实际解题中如果把数与形有机地结合起来,发挥它们各自的优势,相辅相成,那么我们就能有效地找到解决问题的途径,把题目化难为易.现就这种思想,结合例题说明如下.

   一、应用数形结合求数与式中的最大(小)值

   例1求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值.

   分析:绝对值可以通过数轴这个工具与两点间的距离紧密地结合起来.本题可以画一条数轴.

   数轴上A、B、C三点分别对应数1、2、3,点P对应的有理数为x,则有PA=|x-1|,PB=|x-2|,PC=|x-3|.这样,问题转化为在数轴上找一点P,使PA+PB+PC的值最小,显然当P与B重合时,PA+PB+PC=2最小.也就是|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为2.

   解:如图,△ABC中,AD⊥BC于D,设AD=1,BD=x,CD=y.过点B作BE⊥AC,垂足为E.则有:AB2=x2+1,AC2=y2+1.

   二、数形结合解方程(组)

  ()

   A.3B.2C.1D.0

   分析:本题若直接化分式方程为整式方程来求解方程根的个数,显然超越了初中数学的学习内容,展开联想,把“数”转化为“形”来研究.

  出它们的图象,易得,在x>0的范围内,两函数图象有两个交点,故而选B.

   例4如图,有8块相同的长方形地砖恰好能拼成一个矩形的图案(地砖的缝隙忽略不计),且矩形的宽为20cm,求每块长方形地砖的面积.

   分析:图中隐含两个等量关系,①2×地砖的长=1×地砖的长+3×地砖的宽(化简得1×地砖的长=3×地砖的宽);②地砖的长+地砖的宽=20cm

   解:设每块长方形地砖的长为xcm,宽为ycm.

   根据题意,得x=3yx+y=20,解得x=15y=5,

   而15×5=75,即长方形地砖的面积为75cm2.

   三、应用数形结合解锐角三角函数问题

  例5课本中是这样引入“锐角三角函数”的:如图,在锐角?琢的终边OB上,任意取两点P和P1,分别过点P和P1作始边OA的垂线PM和P1M1,垂足分别为M和M1,我们规定,比值 叫做角?琢的正弦,比值 叫做角?琢的余弦,这是因为,由相似三角形的性质,可推得关于这些比值,得到两个等式:

   ,.说明这些比值都是由 唯一确定的,而与P点在角的终边上的位置无关.所以这些比值都是自变量?琢的函数.

   分析:本题利用数形结合,在图中观察得知有两个相似的直角三角形△POM和△P1OM1根据有关定义和 ①求A、C两地之间的距离;

   ②试确定目的地C在点A的什么方向.

   分析:根据题目所提供的数据正确作出图形,利用图形来求出A,C间的距离并指出C地的位置.体现了数与形之间的相互转换.

   所以点C在点A北偏东15°方向上.

   四、应用数形结合解函数问题

   例7 某公司专销产品A,第一批产品A上市40天内全部售完.该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如下图所示,其中左图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系;右图中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.

   (1)试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式;

   (2)第一批产品A上市后,哪一天这家公司市场日销售利润最大?最大利润是多少万元?

   分析:(1)观察左图,图象由两条线段组成,所以应设出一次函数关系式再用待定系法求解;(2)日销售最大利润=日销售最大值×每件利润最大值,观察左图和右图即可得出答案.

   解:(1)当0≤t≤30时,可设所求函数关系式为y=kt.

   ∵(30,60)在图象上,∴60=30k,即得k=2.

   ∴当0≤t≤30时,函数关系式为y=2t.

   当30≤t≤40时,设所求函数关系式为y=k1t+b.

   ∵点(30,60)和(40,0)在图象上,

   ∴60=30k1+b0=40k1+b,解得k1=-6b=240.

   ∴当30≤t≤40时,所求函数关系式为y= -6t+240.

   (2)由左图可知,当t=30(天)时,市场的日销售量达到最大60万件;

   又由右图知,当t=30(天)时,产品的日销售利润达到最大60元/件;

   60×60=3600,

   所以当t=30(天)时,市场的日销售利润最大,最大值为3600万元.

   例8 二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象经过点(-1,2)和(1,0)且与y轴交于负半轴.

   (1) 给出四个结论:①a>0,②b>0,③c>0,④a+b+c=0.

   其中正确结论的序号是 .

   (2) 给出四个结论:①abc0,③ a+c=1,④a>1.

   其中正确结论的序号是 .

   由图象过点(-1,2)知a-b+c=2;

   又a+b+c=0,得a+c=1.∴a=1-c>1.

   故第(2)小题填②③④.

   数形结合思想是初中数学重要的、常用的思想方法,它将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过“形”来直观地表达“数”或是通过“数”来精确地确定“形”,从而化抽象为直观,使问题得到解决.

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