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基于直觉主义对哥德尔不完全性定理的评论


□ 庄朝晖

  摘要:维特根斯坦对哥德尔定理的评论一向为人们所诟病。基于直觉主义,维特根斯坦的评论可以得到更好的理解。在直觉主义者看来,康托尔的对角线证明方法是不适当的,因为在证明中基于可数集定义的康托尔数是一直处于构造之中的,而且可数集与康托尔数的展开是相互追随的。证明中的矛盾不是来自前提错误,而是来自不正当的对康托尔数的定义和使用。同样,哥德尔定理证明中得到的矛盾是来源于哥德尔对哥德尔公式的不正当定义和使用。这一结论还可以推广到递归函数和图灵机这些等价的计算模型。
  关键词:哥德尔不完全性定理;对角线方法;直觉主义;维特根斯坦
  
  引言
  
  哥德尔不完全性定理是20世纪最重要的定理之一,在逻辑学、计算机科学、数学和哲学领域都有广泛的影响。递归函数和图灵机的不可计算性理论都与哥德尔定理有密切的关系。
  哥德尔在罗素系统(PM系统)上构造了一个封闭公式(以下也称为哥德尔语句),证明了哥德尔第一不完全性定理:如果罗素系统是一致的,那么这个公式在罗素系统中不可证明,这个公式的否定在罗素系统中也不可证明的。哥德尔的这个定理具有相当的一般性,在包含一阶算术的形式系统中都适用。在《数学家的逻辑》这本书中,基于一阶算术,也给出了哥德尔不完全性定理的证明过程。基于罗素系统还是基于后来的一阶算术来讨论哥德尔不完全性定理,效果都是一样的。
  
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