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级数与微积分


□ 胡满姑

  摘要:微积分的发展与无穷级数的研究密不可分,它们在方法和理论上是共同发展和成熟起来的,且在其发展过程中吸引了许多数学家对它们的研究并带来了丰硕的成果。
  关键词:级数;微积分;等价物;研究;发展
  中图分类号:O172 文献标识码:A
  
  级数理论是数学分析的一个分支,它与微积分一起构成数学分析的两部分基本内容,两者都是以极限为基本工具,分别从连续和离散两个方面来研究函数,这在认识自然或方法论角度都具有基本的重要意义。
  从纯数量上,一个无穷级数等同于一个无穷限的广义积分。
  微积分的发展与无穷级数的研究密不可分。特别是在牛顿、莱布尼兹创建微积分初期,很大程度上是依赖于对级数的随意的、自由的使用,牛顿在他的流数论中自由运用无穷级数,他凭借二项式定理得到了sinx,cosx,tanx,arcsinx,arctanx和ex等许多函数的级数。泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法。在18世纪,各种初等函数的级数展开陆续得到,并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具,级数和微积分在方法和理论上是共同发展和成熟起来的。
  级数被视为无穷多项式,这新概念中的困难,很长时期没有被认识,欧拉•拉格朗日曾相信每个函数都显然的可以表示为级数,并从此出发建立微积分理论,尽管这没能成功,而作为一种数学方法的成长,或作为从离散角度认识自然的方法,却是很重要的,积分与级数成为自然界连续和离散辨证关系的典型表现。
  微积分创立的初期就为级数理论的开展提供了基本的素材。它通过自己的基本运算与级数运算的纯形式的结合,达到了一批初等函数的幂级数展开。从此以后级数便作为函数的分析等价物,用以计算函数的值。用以代表函数参加运算,并以所得结果阐释函数的性质。在运算过程中,级数被视为多项式的直接的代数推广,并且也就当作通常的多项式来对待。这些基本观点的积极运用一直持续到十九世纪初年,导致了丰硕的成果,这主要归功于欧拉,詹姆士,伯努利,拉格朗日,傅立叶。
  同时,悖论性等式的不时出现促使人们逐渐地自觉到级数的无限多项之和有别于有限项之和这一基本矛盾,注意到函数的级数展开的有效性表现为级数的部分和无限趋近于函数值这一收敛现象,提出了收敛定义的确切陈述,从而开始了数学分析的严密化运动。
  傅立叶在1811年的论文中,以及在他的《热的解析理论》中,首先给出了无穷级数收敛的定义。
  1812年高斯在他的论文《无穷级数的一般研究》中给出了超几何级数F(α,β,γ,x)的收敛判别准则。
  以后柯西在他的“分析教程”中给出了著名的柯西收敛准则,并给出了比值判别法和根式判别法。
  1826年阿贝尔研究了幂级数的收敛问题,给出了著名的阿贝尔定理。
  微积分基本运算与级数运算结合的需要,引导人们加强或缩小收敛性而提出一致收敛的概念,然而函数的级数展开,作为一整个函数的分析等价物,在收敛范围以外的不断的成功的使用,则又迫使人们推广或扩大收敛概念而提出渐近性与可和性。
  十九世纪初期,法国科学家傅立叶在研究热的传导中,曾经引入一类“周期性变化的”函数f(x)表示为无穷多个三角函数sinnx或cosnx(n=1,2,3…)的和。于是找出函数具有收敛的傅立叶级数的确切条件便成为数学家的首要任务。
  迪里克雷于1822-1825年之间研究了傅立叶级数,并在一篇基本的论文“关于三角级数的收敛性”中给出了一个确定f(x)的傅立叶级数是收敛的并且收敛到f(x)的第一组充分条件,即迪里克雷条件。
  1854年黎曼在哥廷根为取得大学教授资格写了一篇试用短文,题目是《用三角级数来表示函数》,他的目的是找出函数f(x)必须满足的充要条件使在区间[-π,π]中的一点处f(x)的傅立叶级数收敛到f(x)。黎曼还证明了基本定理:如果f(x)在[-π,π]上有界且可积,则傅立叶级数系数
  
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