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梯形中常用辅助线作法


□ 李巧鸽

  梯形是几何平面中一种常见的图形,它是在三角形和平行四边形的基础上进行研究的.在解决有关梯形知识的问题中,往往通过添加适当的辅助线,把梯形转化为平行四边形或三角形.在学生已有的知识体系中利用图形的转换将复杂的问题简单化,不同条件的梯形转换方式也不尽相同.因此辅助线添加方式也因其而异.下面就自己的教学经验浅谈一下梯形中常见的辅助线作法.
  1.平移一腰.即从梯形的一个顶点作一腰的平行线,把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形.然后利用平行四边形及三角形的性质解决问题.
  例1如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=10 cm,BC=18 cm.求CD的长.
  分析:过A作AE∥CD交BC于点E,则四边形AECD为平行四边形.欲求CD的长,只要求出AE即可.
  2.从上底的两个端点作下底的垂线,把梯形分成一个矩形和两个直角三角形.如果是等腰梯形,所得到的两个直角三角形是全等的.
  例2如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AD=4,AB=6,∠ABC=60°,求梯形ABCD的面积.
  分析:根据已知条件知,欲求梯形面积需先求出下底和高,故作高AH、DG,易证BH=GC,HG=AD.进而求出BC.由勾股定理和直角三角形的性质可求出高AH.求等腰梯形的面积一般都要求高,而求高通常同时作两条高,把梯形分成一个矩形和两个全等的直角三角形,结合矩形和直角三角形的有关性质解决问题.
  3.平移对角线.即从上底的一个端点作一条对角线的平行线,通过平移对角线可将对角线、上底、下底集中到同一个三角形中.平移后的对角线与另一条对角线及两底之和组成的三角形与原梯形面积相等.
  例3如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,AC=3,BD=4,求梯形的面积.
  分析:欲求梯形ABCD的面积,已知上下底的长,只要求出梯形ABCD的高.过D作DE∥AC交BC的延长线于E,则四边形ACED为平行四边形,从而AD=CE.即得梯形ABCD的面积等于△BDE的面积,故求出△BDE的面积即可.
  4.延长梯形的两腰到一点,得到两个三角形.如果是等腰梯形,则得到两个分别以梯形的两底为底的等腰三角形.
  例4如图4,在四边形ABCD中,AB=CD,∠B=∠C,AD<BC.
  求证:四边形ABCD为等腰梯形.
  分析:欲证四边形ABCD为等腰梯形,已知∠B=∠C,故只要证明AD∥BC即可.延长BA、CD交于点E.证得△AED、△BEC均为等腰三角形.从而易得AD∥BC.
  5.过梯形上底中点作两腰的平行线,把梯形转化为两个平行四边形 和一个三角形.如果是等腰梯形,得到的三角形是等腰三角形,再利用等腰三角形的性质解决问题. ......
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