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巧求二次曲线的切线方程


□ 李 龙

  求过二次曲线

  Ax2十Bxy+Cy2十Dx+Ey+F=0上的一点P(x0,y0)的切线方程,通常的做法。是:设y一y0=k(x一x0),代人原方程后,令△=0.这样算不仅麻烦,而且建立关于x的一元二次方程系数大,很容易错.下面介绍一种.简便的算法:

过圆锥曲线上一点的切线方程的另一种初等求法
               数学组    邱 升 
先看一个具体问题:
求过椭圆上一点的切线方程.
在中学阶段解决此类问题,一般采用方法,即设切线方程为,代入,整理得关于的一元二次方程:
通过判别式=,解得,故所求切线方程为.
这种方法思路直,用到知识少,学生容易掌握,不足之处是运算量偏大,出错率高.那么能否给出一种求解思路简单,而运算量又较小的方法呢?
命题:为圆锥曲线上一点,则曲线上过点的切线方程为(*)
证明:因为二次曲线方程,知方程(*)代表的是一条直线,记为.假设直线与曲线除了点外还有一个公共点,则有和同时成立,从而,这表明关于点的对称点也在曲线上,因点在直线上,故点也在直线上,可见直线与曲线有三个公共点,这与直线与二次曲线最多只有两个公共点矛盾,从而证明了直线与曲线有且只有一个公共点.
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