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与三角形有关的错解“诊所”


□ 刘 顿

  三角形虽然是我们日常生活中经常接触到的最基本的几何图形,但不少同学在具体求解问题时,由于考虑不周密,总是会出现一些错误,现就同学们的常见错误剖析如下.
  一、作图时出现的错误
   例1如图1,作钝角△ABC的高AD.
   错解如图2:
  诊断作三角形的高一定要注意两点:一是高是一条线段,而不是射线或直线;二是作哪条边上的高,高所在的线段的一端是三角形的顶点,另一端是垂足,且垂足在这个顶点的对边上或其延长线上.如图2的这三种错误作图的原因都是对三角形的高的定义理解不清:图(1)未抓住高线的重要特征,作出的AD应与BC垂直;图(2)混淆了高线与垂线的定义,把“线段”作成了“射线”;图(3)应过点A向对边BC所在的直线作垂线,而不是作AC的垂线.
  治疗如图3.则线段AD即△ABC的BC边上的高.
  二、确定三角形边的取值范围时书写错误
  例2若三角形的两边长分别为6、7,则第三边长a的取值范围是 .
  错解根据三角形三边关系定理,得7-6>a>7+6,故a的取值范围是1>a>13.
  诊断三角形三边关系定理是两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,错解正好写相反了.
  治疗根据三角形三边关系定理,得7-6<a<7+6,故a的取值范围是1<a<13.
  三、忽视组成三角形的条件
  例3已知五条线段长分别为3,5,7,9,11,若每次以其中三条线段为边组成三角形,则最多可构成互不一样的三角形( )
  A.10个B.7个C.3个D.2个
  错解可构成的三角形的三边长为3、5、7;3、5、9;3、5、11;11、3、9;11、5、7;11、5、9;11、7、9;9、3、7;9、5、7;7、3、11;共10个,故应选A.
  诊断已知五条线段长分别为3,5,7,9,11,若每次以其中三条线段为边组成三角形,这三条线段必须满足三角形的三边关系定理,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
  本题的错解中正是忽视了这一点,使得3、5、11;3、5、9;3、7、11这三组不能组成三角形的也列在其中.
  治疗先确定最大边,只要较小两边之和大于最大边长,即可构成三角形,由此易得,可构成的三角形的三边长为11、3、9;11、5、7;11、5、9;11、7、9;9、3、7;9、5、7;7、3、5;共7个,故应选B.
  四、忽视分类讨论
  例4在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把三角形的周长分为13.5cm和11.5cm两部分,求三角形各边长.
  错解设在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,则根据题意,得AB-BC=13.5-11.5=2,AB=BC+2. ......
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