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利用几何意义解一类最值问题


□ 杨 钊

  求最值常用的方法有三种,函数法、不等式法、几何意义法。本文利用几何意义求解解析几何中的一类最值问题。
  例1:坐标平面上有两点A(-2,3)、B(3,4),在X轴上求一点P,使AP+PB的值最小,并求这个最小值。
   解:设A关于X轴的对称点为A1 连接 A1与B交X轴于C,则C点就是达到最小值的点,且=AC+CB=A1 B。
  证明如下:设C1 是X轴上任意点,则有AC1+C1B=A1C1+C1B≥ =AC+CB(定值),当且仅当C1为C时等号成立。
  例2:坐标平面上有两点A(-2,1)、B(-3,4),在X轴上求一点P,在Y轴求一点Q, 使AP+PQ+QB的值最小,并求这个最小值。
  分析:设A关于X轴的对称点为 ,B关于Y轴的对称点为 ,连接B1A1交X轴与Y轴分为C、D, 则C、D即为所求两点,且 = AC+CD+DB=B1A1。
  证明:设C1、D1是X轴Y轴上任一两点,则,AC1+C1D1+D1B=A1C1+C1D1+D1B1≥B1A1= A1C+CD+DB1=AC+CD+DB (定值),当且仅当 为C,D1为D时等号成立。
  例3:抛物线y2=4x的焦点为F,一定点A(4,2),在抛物线上求一点P,使得AP+PF的值最小,并求这个最小值。
  解:过A点向准线作垂线,垂足为C,交曲线于B, B点就是达到最小值的点,且 =AB+BF=AC。
  证明如下:设B1是曲线上的任意点,过B1点向准线作垂线,垂足为C1,则A B1+ B1F= AB1+B1C1≥AC=AB+BF(定值), 当且仅当B1为B时等号成立。
  例4:椭圆■ +■ =1的左焦点为F,A(2,1)是椭圆内的一点,在椭圆上求一点P 使得 的值最小,并求这个最小值;再在椭圆上求一点Q 使得的AQ+QF1值最大,并求这个最大值。
  解:连接A 与 交椭圆于B、C两点, B点就是达到最小值的点,且 =AB+BF1=2a-AF2;C点就是达到最大值的点,且=AC+CF1=2a+ AF2 。
  证明如下:设B1是椭圆上任意一点,则 B1F1+B1A+AF2 ≥B1F1+B1F2=2a,即:B1F1+B1A≥2a-AF2=AB+BF1(定值),当且仅当 B1为B时等号成立。
  又 B1F1+B1A=2a-B1F2+B1A≤2a+AF2=AC+CF1 (定值),当且仅当 B1为C时等号成立。
  例5:双曲线■ -■=1的右焦点为F2,A(6,1)为一定点,在双曲线上求一点P使得的值AP+FP2最小,并求这个最小值。
  解:连接A F1交双曲线于B,路线F2-B-A就是光的传播路线, B点就是达到最小值的点,且(AP+PF2)min=AB+BF2=A F-2a。
  证明如下:设 是双曲线上任意一点,则 B1F2+B1A=B1F1-2a+B1A≥AF1-2a=AB+BF2(定值),当且仅当 为B时等号成立。
  练习:圆上有一弦AB(不是直径),在劣弧AB上找两点使得这两点到A、B的距离之和最小或最大;在优弧AB上找两点使得这两点到A、B的距离之和最小或最大。
  

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