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分类思想 分类例说


□ 周保娥

   分类思想是研究数学问题常用的一种思想方法.应用分类的方法,往往能使复杂的问题条理化、简单化、变抽象为具体,可以把一个复杂问题分解成几个相对简单的问题.现就以下几个方面举例探讨.
   一、数与式中的分类思想
   数与式是初中数学的基本知识,是今后学习的基础.
   例1若a3-a=1(a≠0),则a=.
   分析:学生易受零指数幂影响,易得出a=3这个错误的答案.根据本题的特征,分析所有可能,可能是a0=1,也可能12=1,还可能(-1)4=1,即(-1)3-(-1)=1,所以满足条件的值为3,1,-1.
   例2一组数据5,7,7,x的中位数与平均数相等,则x的值为.
   分析:根据x的大小、位置分类讨论求解.
   综上所述,x的值为5或9.
   二、三角形中的分类思想
   三角形是数学的基本图形,学好三角形对于今后学习四边形,圆等起着关键作用.
   例3小强家有一块三角形的菜地,量得两边长分别为40m,50m,第三边上的高为30m,请你帮小强计算这块菜地的面积.(结果保留根号).
   分析:三角形的高可能在三角形内,也可能在三角形外,而根据题意不能确定,故需分类求得.
   解:①当三角形的高在三角形内部时,如图1,由题意得,边AB=50,AC=40,高AD=30,
   例4△ABC中,∠A=36°,过B点的直线BD将△ABC分成两个等腰三角形,则符合条件但形状不同的△ABC共有()种.
   A.1 B.2C.3 D.4
   分析:把△ABC分等腰三角形和一般三角形讨论.
   ①当∠A为等腰三角形底角时,如图3,∠A=∠ABD=36°,∠CBD=∠CDB=72°,得AD=BD和CD=CB;
   ②当∠A为等腰三角形顶角时,如图4,∠A=∠ABD=36°,∠C=∠CDB=72°,得AD=BD和BC=
  BD;
   ③如图5,当∠A=∠ABD=36°,∠C=∠CBD=
  54°,得AD=BD和CD=BD;
   ④如图6,当∠A=∠ADB=36°,∠C=∠CBD=
  18°,得AB=BD和CD=BD.
   综上四种情况,故选D.
   三、方程中的分类思想
   例5关于x的方程ax2+4x-2=0有解,求实数a的取值范围.
   分析:①当a=0时,原方程为一元一次方程,4x-2=0有解,此时a=0满足题意;
   ②当a≠0时,原方程为一元二次方程,16+8a≥0时有解,此时a≥-2且a≠0.
   综上所述,实数a的取值范围是a≥-2.
   ①求证:无论m取什么实数值,这个方程总有两个相异的实数根;
   ②若这个方程的两实数根x1,x2满足:
   |x1|=|x2|+2,求m的值及相应的x1,x2的值.
   分析:对于②,先判断x1,x2的符号,并运用分类讨论思想,可去掉绝对值的符号,降低问题的难度.
   解:①较为简单,过程略;
   (1)当x1≤0,x2≥0时,-x1=x2+2,∴x1+x2=-2,即m-2=-2,得m=0,代入原方程,易知,x1=-2,x2=0;
   四、圆中的分类思想
   圆是初中数学的重要内容,圆既是中心对称图形又是轴对称图形,正因为圆的这种特殊性,所以在给定一个条件后,有可能出现多解,故而要分类讨论.
   例7若一点P到⊙O的最小距离为a,最大距离为b,求该圆的半径.
   分析:本题要结合点与圆的位置关系(点在圆外、圆上、圆内),这里对P点没有条件限制,可得点P可在⊙O外,在⊙O上,在⊙O内,对这三种情况分别讨论.
   解:①当点P在⊙O外,这时PA=a,PB=b,
   例8在半径为10cm的⊙O中,分别有AB=16cm和CD=12cm,且AB∥CD,求AB与CD的距离.
   分析:由于题意中对平行弦没有限制条件,所以应分为平行弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论.
   ①当平行弦在圆心的异侧时,
   ∴AB与CD的距离为EF=OF+OE=6+8=14(cm);
   ②当平行弦在圆心的同侧时,则AB与CD的距离为EF=OF-OE=8-6=2(cm).
   五、函数中的分类思想
   函数是初中数学的重点和难点,历来是中考的热门问题,在中考中占有较大比重.
   例9一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6,相应函数值的范围是-5≤y≤-2,则这个函数的解析式为.
   分析:这里应分k>0与k<0两种情况分别讨论.
   解: ①当k>0时:x=6时,y=-2;x=-3时,y=-5.
   在数学知识学习过程中,进行梳理知识体系的同时,适时对分类思想方法归纳总结,就能总揽全局,发展思维的条理性、缜密性、灵活性,提高分析问题和解决问题的能力.
  

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