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谱元方法求解波动方程及影响其数值精度的相关因素


□ 朱昌允 秦国良 徐 忠

  摘 要:为探讨波动方程的高精度数值模拟,采用Chebyshev谱元方法结合隐式Newmark时间积分方法求解波动方程,求解一个具体算例验证了数值方法的可行性,讨论了时间步长、Newmark因子以及计算区域的网格剖分方式对数值精度的影响,结果表明:和差分法相比,谱元方法求解波动方程具有所用网格节点少,数值精度高的特点;数值误差随时间步长减小而减小;在满足稳定性要求的前提下,数值误差随着Newmark因子的减小而减小;当总网格节点数相同时,不同的网格剖分方式所得数值误差不同,所述方法和结论可用于模拟声波在空气中的传播。
  关键词:波动方程;谱元方法;时间积分方法;气动声学
  中图分类号:O353 文献标志码:A 文章编号:0253-987X(2008)01-0056-04
  
  谱元方法是结合谱方法和有限元法各自特点的一种数值方法,它既具有谱方法的高精度和收敛特性,又具有较好的几何区域适应性,20世纪80年代初由Patera提出,其后主要应用于计算流体力学和计算传热学,随着对其研究的深入和工程实际问题的需要,该方法近来被应用于更多领域,如气动声学、地球物理学等领域。
  计算气动声学是一门新兴的交叉学科,主要通过数值计算研究气动噪声的产生机理和传播特性、流体和声的相互作用等,目前面,临的主要问题之一是传统数值方法的精度不能完全满足计算气动声学的需要,如差分方法和有限元方法,声学量是流动中脉动量相互抵消的结果,其值较平均流场量小3~5个量级,故需较高的数值精度,针对这一要求,谱元方法在这一领域的应用受到关注,谱元方法求解时间相关问题时,常牵涉求解形如下式的常微分方程组
  Mut+Gut+Kut=Qt (1)
  
    
  4.1 时间步长h对计算精度的影响
  为探讨步长A对数值精度的影响,对式(18)分别采用人h=0.2,0.1,0.01,0.001s进行求解,网格剖分均为Nm=4,Nn=4,Nx=4,Ny=4,响应时间均为t=2s,图1和图2分别给出不同步长对应的各网格点上的绝对误差,对比可得,误差随步长减小
  
  4.2 δ因子对计算精度的影响
  为探讨δ对数值精度的影响,δ分别取0.6、0.7、0.8、0.9,对式(18)进行求解,网格剖分方式同4.1节,h=0.01s,响应时间均为t=2s,图3和图4分别给出不同δ值对应的各网格点上的绝对误差,对比可得误差随s的减小而减小。 ......
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