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向量的故事


□ 石志群

  一

  我们生活在一个激动人心的年代,“神六”飞天,“嫦娥”奔月,外层空间旅行也已不是遥不可及的企盼.空间探索向人们提出了很多难题,如发射一枚导弹,它的速度、它所受到的力以及运动中的加速度,都是成功与否的重要因素.

  你可曾划过小河中逆流而行的小船?你可会游泳?顺流而下与逆流而上感觉有何不同?你一定有过这样的经历:顺风行走非常轻松,逆风前进步履艰难.

  足球比赛中正在传球的队员、快速救球的守门员;正在航行的飞机;对行进中的敌舰发射的鱼雷;甚至肆虐的龙卷风、海啸……

  所有这些,都在叙述着向量的故事.

  二

  向量又称矢量,是既有大小又有方向的量.向量是作为力、速度、加速度等物理量的模型而引入数学的.还有很多物理量也是向量,如位移、电场强度、磁感应强度等.向量一词来自力学、解析几何学中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.

  公元前,希腊的亚里士多德就已经知道力可以表示成向量,两个力的合成可以运用平行四边形法则得到.

  公元十六世纪到十七世纪,德国的斯蒂文也开始应用平行四边形法则处理静力学问题.同时期的意大利物理学家伽利略也发现并运用这一法则. 

  稍后,丹麦的未塞尔、瑞士的阿工发现了复数的几何表示,德国的高斯建立起了复平面的概念,从而平面向量就与复数建立起了一一对应的关系,这不仅为虚数的现实化提供了可能,也告诉人们可以用复数运算来研究向量了.

  19世纪末、20世纪初的英国数学家亥维赛在向量分析上作出了许多贡献.他首先给出了向量的定义:向量可以表示成ai+bj+ck的形式(表示的是空间向量).这里的i,j,k分别是沿着x,y,z轴正方向的单向矢量,系数a,b,c是实数,称为分量.至于n维向量的理论则是由德国数学家格拉斯曼于1844年引入的.

  三

  高中课本上所研究的向量是一种带几何性质的量,所有非零向量都可以用带箭头的线段表示,箭头表示方向.高等数学则对向量进行了推广,比如,把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间,这里的每一个多项式都可以看成一个向量,在这种情况下,要找出起点和终点以及画出带箭头的有向线段都是办不到的.向量空间中的向量比几何中的向量要广泛得多,可以是任意数学对象或物理对象.这样,就可以使线性代数方法在自然科学领域中得到更广阔的应用.向量空间的概念,已成为数学中最基本的概念和线性代数的中心内容,而空间向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供了一个具体的模型. 

  四

  如上所述,向量的概念源于物理学中的力、速度等,是从物理量中抽象出来的数学概念,而向量的加、减运算也是完全遵循了矢量运算的基本规律.不仅如此,向量理论中的一些重要概念,也都源于物理,如向量的数量积就源于力的做功.

  这种以物理对象作为数学模型的构造原型的数学结构的形成方式,在中学数学中是独一无二的,它拓展了数学科学生成和发展的空间,与此同时,这一源于物理的数学结构对解决数学中的问题,促进数学的发展也发挥了很大的作用.

  比如,上面已经介绍过的,运用向量建立复数的几何意义,从而使人们充分认识到复数的合理性和客观性,使复数变得具体、实在,不再“虚无飘渺”.

  再如,向量的数量积的概念源于力的做功,但其应用却远远超过了力的做功本身.运用向量的数量积既可以计算向量的模(即线段的长度)、向量之间的夹角,还可以证明线的平行与垂直关系、线与面及面与面的平行与垂直关系.也正因为此,我们就能够运用向量求解空间中异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小以及直线与平面、平面与平面之间的距离等问题了.这些在高中数学教材(选修21)中都有介绍.

  五

  由于向量与实数对的对应关系的建立,沟通了几何与代数之间的关系,从而进一步拓展了向量的应用范围,为数学带来了更多的活力.

  用代数方法证明柯西不等式的思路是很不容易想到的,然而从向量的角度看却是不言自明的.柯西不等式的一般形式是:(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(其中a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均为实数),等号成立的充要条件是a1b1=a2b2=…=anbn.如果我们利用向量的数量积的一般形式(代数形式):a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn),则由a•b≤ |a||b|

  可以直接说明(其中a2=a21+a22+…+a2n,b2=b21+b22+…+b2n,a•b=a1b1+a2b2+…+anbn).对二维情形,就更是一目了然了.

  对三角形中的正弦定理和余弦定理,用向量观点看,其本质就更能够得到统一:反映三角形的边、角之间关系的最基本的关系式为 AC=AB+BC,从这个关系式出发,以“数量化”的思想为指导,通过不同的数量化方式,就可以得到三角形中边角关系的不同表达形式.如通过“平方”,就可得到余弦定理;通过两边同时乘BC边上的高对应的向量AD,即可得到正弦定理;而将等式两边同时乘AC,又可得到射影定理,即b=acosC+ccosA(这里的“乘”和“平方”都是数量积运算). 

  向量变换为我们表示平面(空间)中图形的变换带来方便.如图形的平移变换就可以用向量非常简捷地给出表示,线段的定比分点的位置也可以通过向量非常简单地加以刻画.而且通过构造向量,还可以解决更多的数学问题.请看:

  已知实数x,y满足x2+y2+5x≤0,求3x+4y的最大值和最小值.

  解析由目标式联想不等式(a•b)2≤|a|2•|b|2,则3x+4y+t(t为参数)应是两个向量的对应坐标的乘积之和.将条件式转化为x+522+y2≤254 ,故应构造向量m=x+52,y.为了与目标式相吻合,再构造向量n=(3,4).

  由不等式(m•n)2≤|m|2•|n|2,得3x+52+4y2=3x+4y+1522≤x+522+y2(32+42)≤2522.

  所以-252 ≤3x+4y+152≤252,即3x+4y的最大值是5,最小值是-20.

  向量的魅力由此可见一斑.

  注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

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