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向量的故事


□ 石志群

  一

  我们生活在一个激动人心的年代,“神六”飞天,“嫦娥”奔月,外层空间旅行也已不是遥不可及的企盼.空间探索向人们提出了很多难题,如发射一枚导弹,它的速度、它所受到的力以及运动中的加速度,都是成功与否的重要因素.

  你可曾划过小河中逆流而行的小船?你可会游泳?顺流而下与逆流而上感觉有何不同?你一定有过这样的经历:顺风行走非常轻松,逆风前进步履艰难.

  足球比赛中正在传球的队员、快速救球的守门员;正在航行的飞机;对行进中的敌舰发射的鱼雷;甚至肆虐的龙卷风、海啸……

  所有这些,都在叙述着向量的故事.

  二

  向量又称矢量,是既有大小又有方向的量.向量是作为力、速度、加速度等物理量的模型而引入数学的.还有很多物理量也是向量,如位移、电场强度、磁感应强度等.向量一词来自力学、解析几何学中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.

  公元前,希腊的亚里士多德就已经知道力可以表示成向量,两个力的合成可以运用平行四边形法则得到.

  公元十六世纪到十七世纪,德国的斯蒂文也开始应用平行四边形法则处理静力学问题.同时期的意大利物理学家伽利略也发现并运用这一法则. 

  稍后,丹麦的未塞尔、瑞士的阿工发现了复数的几何表示,德国的高斯建立起了复平面的概念,从而平面向量就与复数建立起了一一对应的关系,这不仅为虚数的现实化提供了可能,也告诉人们可以用复数运算来研究向量了.

  19世纪末、20世纪初的英国数学家亥维赛在向量分析上作出了许多贡献.他首先给出了向量的定义:向量可以表示成ai+bj+ck的形式(表示的是空间向量).这里的i,j,k分别是沿着x,y,z轴正方向的单向矢量,系数a,b,c是实数,称为分量.至于n维向量的理论则是由德国数学家格拉斯曼于1844年引入的.

  三

  高中课本上所研究的向量是一种带几何性质的量,所有非零向量都可以用带箭头的线段表示,箭头表示方向.高等数学则对向量进行了推广,比如,把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间,这里的每一个多项式都可以看成一个向量,在这种情况下,要找出起点和终点以及画出带箭头的有向线段都是办不到的.向量空间中的向量比几何中的向量要广泛得多,可以是任意数学对象或物理对象.这样,就可以使线性代数方法在自然科学领域中得到更广阔的应用.向量空间的概念,已成为数学中最基本的概念和线性代数的中心内容,而空间向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供了一个具体的模型. 

  四

  如上所述,向量的概念源于物理学中的力、速度等,是从物理量中抽象出来的数学概念,而向量的加、减运算也是完全遵循了矢量运算的基本规律.不仅如此,向量理论中的一些重要概念,也都源于物理,如向量的数量积就源于力的做功.

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